Bella Geometría

	Teorema de Brianchon

	El teorema de Brianchon se debe a Charles Julien Brianchon (1783-1864) y afirma que: Las diagonales de un exágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto. La siguiente figura muestra una elipse inscrita en un exágono. Al punto común a las tres diagonales, coloreado en rojo, en la figura se le conoce como punto de Brianchon. El teorema de Brianchon es el teorema dual del teorema de Pascal. ¿Qué es un teorema dual? Consulta el tema Geometría proyectiva y dualidad. Casos límite Haciendo concidir dos lados consecutivos del exágono en uno solo y sustituyendo el vértice desaparecido por el punto de contacto, obtenemos que En todo pentágono circunscrito a una cónica, la recta que une un vértice con el punto de contacto del lado opuesto, y las diagonales que unen los otros vértices no consecutivos, son tres rectas que concurren en un mismo punto. Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener que: En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, si se toman los puntos de contacto de dos lados que se cortan en un vértice, la recta de unión de este con su opuesto y las de unión de los puntos de contacto con los otros dos vértices son tres rectas que concurren en un mismo punto. O también, En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, las dos diagonales y las rectas que unen los puntos de contacto de lados opuestos son cuatro rectas que concurren en un punto. Por último, En todo triángulo circunscrito a una cónica, las rectas que unen los vértices con los puntos de contacto de los lados opuestos son tres rectas que concurren en un punto.

Teorema de Brianchon

El teorema de Brianchon se debe a Charles Julien Brianchon (1783-1864) y afirma que:

Las diagonales de un exágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto.

La siguiente figura muestra una elipse inscrita en un exágono. Al punto común a las tres diagonales, coloreado en rojo, en la figura se le conoce como punto de Brianchon.

El teorema de Brianchon es el teorema dual del teorema de Pascal. ¿Qué es un teorema dual? Consulta el tema Geometría proyectiva y dualidad.

Casos límite

Haciendo concidir dos lados consecutivos del exágono en uno solo y sustituyendo el vértice desaparecido por el punto de contacto, obtenemos que

En todo pentágono circunscrito a una cónica, la recta que une un vértice con el punto de contacto del lado opuesto, y las diagonales que unen los otros vértices no consecutivos, son tres rectas que concurren en un mismo punto.

Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener que:

En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, si se toman los puntos de contacto de dos lados que se cortan en un vértice, la recta de unión de este con su opuesto y las de unión de los puntos de contacto con los otros dos vértices son tres rectas que concurren en un mismo punto.

O también,

En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, las dos diagonales y las rectas que unen los puntos de contacto de lados opuestos son cuatro rectas que concurren en un punto.

Por último,

En todo triángulo circunscrito a una cónica, las rectas que unen los vértices con los puntos de contacto de los lados opuestos son tres rectas que concurren en un punto.