Construcción de un pentágono regular

pentagono1.fig

Para inscribir un pentágono regular en una circunferencia dada de centro O, procedemos de la siguiente manera:

1. Trazamos el radio OX y el diámetro DY, perpendicular a OX

2. Hallamos el punto medio M de OX y trazamos la circunferencia con diámetro OX.

3. Hallamos el punto de intersección Z del segmento MY y la circunferencia con diámetro OX.

4. Trazamos la circunferencia con centro Y que pasa por Z (esta circunferencia será tangente a la circunferencia con diámetro OX).

5. Hallamos los puntos de intersección A y B de las circunferencias con centros O e Y. Estos puntos determinan un lado del pentágono buscado.

6. Para hallar los restantes vértices del pentágono trazamos circunferencias de radio AB y centros A y B, que cortarán a la circunferencia dada en E y C respectivamente.

Justificar esta construcción.

pentagono2.fig

Comenzamos por hallar la diagonal x de un pentágono de lado unidad. Usando que los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales, es fácil ver que los triángulos ADB y BAW de la figura son isósceles y semejantes, teniendo en ambos casos el ángulo desigual un valor de 36º.

Entonces, de la proporcion (x-1) : 1 = 1 : x resulta que x es solución de la ecuación x2 - x - 1 = 0, es decir x es el número de oro:

De paso, obtenemos también que x es el cociente entre los lados mayor y menor de un triángulo isósceles con ángulo desigual de 36º.

 

pentagono3.fig

El triángulo YOB es isósceles, y para que la construcción del pentágono sea correcta, basta comprobar que el ángulo YOB mide 36º, es decir que OY : YB = x.

Para simplificar, suponemos en la primera figura que OY=1, y entonces MZ = MO = 1/2. Por el teorema de Pitágoras, tenemos que

Entonces,

Por tanto, ÐYOB=36º y ÐOAB=72º, y AB es un lado del pentágono regular inscrito en la circunferencia.